Ян Рачинский: Борьба с Гауссом или Кавказские вершины российских выборов

НАСТОЯЩИЙ МАТЕРИАЛ (ИНФОРМАЦИЯ) ПРОИЗВЕДЕН И РАСПРОСТРАНЕН ИНОСТРАННЫМ АГЕНТОМ ООО "МЕМО", ЛИБО КАСАЕТСЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИНОСТРАННОГО АГЕНТА ООО "МЕМО".

Автор статьи, Ян Рачинский, математик по образованию, анализирует результаты российских выборов 4 декабря 2011 года и их странности, особенно заметные на Северном Кавказе.

В июле прошлого года президент Медведев высказал надежду, что "предстоящая кампания будет открытой, честной, а выборы будут абсолютно справедливыми". Остается лишь посочувствовать – грубая действительность разрушила его светлую мечту.

Дело не только в массе нарушений, зафиксированных наблюдателями на конкретных участках, – хотя и здесь российская реальность оказалась неподвластна президенту. Несмотря на высказанное Медведевым требование расследовать все нарушения, допущенные в ходе выборов в Госдуму, - рассмотрение первых исков в судах показало, что судьи отказываются выслушивать истцов и проводить какие бы то ни было экспертизы, в том числе и почерковедческие, столь любимые ЦИКом при регистрации кандидатов.

Беда еще и в том, что зафиксированные наблюдателями нарушения – лишь малая часть общей фальсификации. Подтверждением этому служат простые математические выкладки, основанные на официальных результатах выборов.

О том, что итоги российских выборов не могут быть рационально объяснены с точки зрения статистики, не раз писали С.Шпилькин и другие авторы ¹. Один из графиков, приведенных Шпилькиным, получил настолько широкую известность, что даже оказался на плакатах:

Конечно, находятся люди, отрицающие фальсификации, – но в большинстве они даже не смотрели на данные. Очень часто вместо аргументов приводится ссылка на статью С.Г.Кузнецова ². Примечательно, что ее автор, начавший с легковесной попытки защитить результаты выборов, после самостоятельной работы с данными тоже пришел к выводу, что объяснить аномалии естественными причинами не получается, и внес в свою статью (и даже в ее название) существенные изменения.

Статистика и юриспруденция

Но могут ли статистические выкладки быть доказательством в суде, имеют ли они юридическое значение?

Из того, что принимается судом в качестве доказательств, очень многое имеет именно вероятностную или статистическую природу.

Даже такое известное всем доказательство как отпечатки пальцев не имеет никакого иного основания, кроме вероятностного. Никогда и никем не доказано, что отпечатки пальцев разных людей не могут совпадать. Судебная практика исходит из того, что вероятность такого совпадения ничтожно мала.

Баллистическая экспертиза основана ровно на том же – что вероятность совпадения микродефектов у разных стволов чрезвычайно мала.

И определение времени смерти по температуре трупа основано именно на статистических наблюдениях.

Вообще говоря, суд очень часто исходит из соображений вероятности, даже не слишком опирающихся на строгую науку.

Например, если подозреваемый в убийстве говорит, что убитый сам на него бросился, поскользнулся и упал на собственный нож – это может быть сочтено за правду. Если же подозреваемый скажет, что так получились все тринадцать ножевых ранений на теле убитого – вряд ли суд станет рассматривать эту версию всерьез.

Но результаты прошедших выборов ничуть не более правдоподобны.

И потому было бы вполне уместно провести официальную математическую экспертизу – так же, как проводят аудиторскую проверку при сомнениях в бухгалтерской отчетности. Нет никаких сомнений, что такая экспертиза рано или поздно будет проведена – не при нынешней власти, так через пять лет. Такую экспертизу могут осуществить, например, специалисты Математического института Российской академии наук. Это весьма уважаемая организация, которая не станет искажать истину ни в интересах оппозиции, ни в интересах власти – тем более, что любые математические выкладки проверить гораздо легче, чем добиться от Чурова пересчета голосов хоть на одном участке.

Экспертные заключения запрашиваются и рассматриваются судом и по гораздо менее существенным поводам, а математическая экспертиза гораздо надежнее и точнее, чем фигурировавшая только что в громком деле и принятая судом в качестве доказательства "психологическая" экспертиза формы кошачьего хвоста.

Будут ли результаты экспертизы рассматриваться в суде или станут основанием для парламентского решения – это уже следующий вопрос.

*   *   *

Математика – наука беспристрастная. Статистические расчеты используются в самых разных отраслях экономики, включая оборонные.

Поведение людей также подчиняется статистическим закономерностям, и это используют самые разные ведомства – медицинские и пенсионные, учебные и страховые. А социологические опросы целиком основаны на существовании этих закономерностей.

Не вызывает сомнений, что статистические закономерности должны прослеживаться и в результатах голосования десятков миллионов человек.

Теория и чуровская "реальность"

Построим самую упрощенную ("идеальную") модель. У каждого избирателя на выборах было 9 возможностей: проголосовать за одну из 7 партий, испортить бюллетень (например, поставив галочки против нескольких партий) или не пойти на выборы вовсе (вариантом "забрать бюллетень с собой" мы пренебрегаем, как исчезающе малым). Воспользуемся официальными итогами выборов, согласно которым явка составила 60,2%, а голоса разделились следующим образом:

Распределим голоса случайным образом по набору участков такого же размера, как в реальных выборах, считая, что официальные результаты показывают сравнительную вероятность голосования отдельного избирателя за ту или иную партию.

В результате получим примерно такую картинку (обращаю внимание читателей, что на осях графиков здесь и в большинстве случаев далее указаны не проценты %, а промилле ‰, т.е. не сотые, а тысячные доли):

В зависимости от разных обстоятельств горки могут быть более или менее широкими (чем шире горка, тем она будет ниже), могут быть более или менее гладкими, но выстраиваются вокруг среднего значения явки – 60,2%.

Понятно, что реальная картинка будет отличаться, вопрос в том, насколько.

Оказывается, вот настолько:

Получающийся график даже рассматривать неудобно из-за того, что Единая Россия на участках со 100-процентной явкой набрала без малого миллион голосов (точнее, 992 995) и этот Эльбрус совершенно задавил все окружающее. Но даже если исключить этот пик из рассмотрения и поглядеть на остальную часть графика, вопросы все равно возникают.

Хотя Чуров в интервью "Эху Москвы" ³ и утверждает, что "все графики всех партий имеют признаки нормального распределения" ⁴, согласиться с ним несколько затруднительно. Мешает прежде всего "хвост" в правой части графика "Единой России", в просторечии именуемый "бородой Чурова".

Вряд ли найдется хоть один серьезный социолог, который сочтет такое распределение правдоподобным. Ведь если генеральная совокупность ведет себя таким неописуемым образом, то абсолютно непонятно, как можно построить репрезентативную выборку – и от социологических опросов надо отказаться навсегда, в том числе и прежде всего от опросов по поводу выборов.

Остановимся на некоторых странностях декабрьского голосования чуть подробнее.

Явка – официальная и реальная: масштабы вбросов

Совершенно загадочное явление – практически линейная зависимость результата "Единой России" от явки. Начиная с 50-процентной явки (где у единороссов 35% голосов), увеличение явки на каждые следующие 5% влечет такое же увеличение результата Единой России. Уверения, будто сторонники "Единой России" предпочитают ходить на выборы большими стадами, вряд ли можно принимать всерьез.

Но может быть, это случайное и не столь уж значительное в абсолютных цифрах явление? Ведь уже не раз отмечалось, что в дурдомах, больницах и тюрьмах не явиться на выборы трудно, а голосуют почти все поголовно почему-то (странности загадочной русской души) – за Единую Россию.

Однако следующая диаграмма показывает, что на участках с явкой свыше 80% единороссы набрали треть всех своих голосов – более 11 миллионов. Больных и заключенных в стране все-таки поменьше, даже если приплюсовать к ним еще и кадыровскую Чечню.

На сегодняшний день для этого явления существует только одно достаточно убедительное объяснение – масштабные вбросы голосов за "Единую Россию". Естественно, что при вбросах растет и явка. Сразу надо пояснить, что это совершенно не обязательно "карусели" или другие виды вброса во время голосования, когда на избирательных участках много "посторонних", то есть нас с вами. Гораздо проще в большинстве случаев (когда нет настырных наблюдателей) сделать это или до голосования, или, что еще менее рискованно, после. А подписи избирателей подделать и вовсе несложно – как показывает практика, почерковедческая экспертиза жуликам не грозит ⁵.

Модель "вбрасывания" (опять-таки самая простейшая) приводит к такому изменению "идеальной" картинки:

Конечно, здесь грубо смоделирован только один вид фальсификации – вброс; а мы знаем, что было и переписывание.

Любопытно, что при разных вариантах моделирования вброса и переписывания для "идеальной" картинки положение на графиках максимума в районе средней явки не изменялось (в предположении, что фальсификация производилась не более чем на половине участков). Заметим, что на графике официальных результатов у всех партий имеется максимум в районе явки 51% - рискну высказать гипотезу, что это реликтовый след реальной средней явки, на 9% меньше официально объявленной. Это означает, что вброс составил более 9,5 миллионов бюллетеней, и нет никаких оснований сомневаться, кому достались липовые голоса. Многие авторы приводят гораздо более высокие оценки масштабов фальсификации – до 15 миллионов голосов, но и полученная нами дает основание считать нынешний парламент нелегитимным. Если исключить вброшенные бюллетени, то результат Единой России не дотягивает до 41%, и все распределение думских портфелей должно выглядеть совершенно иначе.

И это означает, что имеет место ситуация, предусмотренная частью 5 статьи 92 Закона о выборах депутатов Государственной Думы: "Суд соответствующего уровня может отменить решение избирательной комиссии об итогах голосования, о результатах выборов депутатов Государственной Думы помимо оснований, предусмотренных частью 4 настоящей статьи, также в случаях <...> установления судом других нарушений законодательства Российской Федерации о выборах, если эти нарушения не позволяют выявить действительную волю избирателей". Приведенные выкладки показывают, что махинации с результатами выборов существенно изменили распределение голосов, но характер этих подтасовок не позволяет восстановить подлинные результаты. Нынешний парламент нелегитимен, и единственный способ исправить положение – назначение повторных выборов.

Бесспорные доказательства фальсификации результатов

Еще одна часто обсуждаемая особенность графиков – так называемые пики Чурова, т.е. необъяснимые всплески на "круглых" процентах.

Эти пики бывают двух типов.

Первый тип связан с явкой. На приведенном выше графике пики первого типа существенно заметны только при 70, 75 и 85 процентах явки (если по вертикальной оси откладывать не число голосов, а число избирательных участков, то пики будут заметны несколько сильнее). Рациональных объяснений такой склонности избирателей к "круглым" процентам явки быть не может. Напротив, любовь чиновников к круглым цифрам общеизвестна.

Эти пики – совершенно бесспорное доказательство махинаций именно на этапе подсчета голосов. Они не могут быть результатом "каруселей" или использования административного ресурса – потому что вплоть до самого закрытия участка может прийти какой-то шальной избиратель и испортить всю красоту. При численности избирателей на участке в 2000 человек достаточно всего двух лишних человек, чтобы явка 85% превратилась в 85,1%.

Чуров в упомянутом выше интервью произнес по поводу этих пиков нечто невнятное: "Если мы возьмем пики, то есть максимумы этих распределений и нанесем их по партиям в зависимости от числа набранных голосов, окажется линейная зависимость (?!)".

Возможно, он хотел сказать, что поскольку пики при 70, 75 и 85 процентах явки есть не только на графике "Единой России", но и на графиках других партий, то это можно считать природным явлением. Увы, это совершенно неверно. При искусственном создании круглых процентов явки общее число участков с такой явкой увеличивается, а значит, растет (хоть и медленнее, чем у ЕР) суммарное число голосов, полученных на таких участках и другими партиями. Но, например, при явке 75% ЕР набрала 99 844 голоса, а КПРФ – 25 005; при 85% - 72 527 и 12 408 соответственно. В первом случае результаты различаются вчетверо, во втором – почти в 6 раз. Официальные же общие итоги ЕР и КПРФ различаются в два с половиной раза. Называть такое соотношение линейной зависимостью можно только в какой-нибудь новой, совершенно суверенной математике.

Но есть еще и пики второго рода, вовсе не связанные с явкой.

Посмотрим на другой график, где голоса за каждую партию просуммированы по участкам, на которых партия набрала одинаковый процент голосов.

Пики здесь гораздо заметнее. Психологически это вполне понятно –чиновники старались прежде всего нарисовать красивый результат руководящей и направляющей партии; борцов за круглый процент явки наверняка было меньше.

Эти пики имеются только и исключительно на графике "Единой России". Начиная с 65% (650‰) они видны чрезвычайно отчетливо. Естественного происхождения эти пики иметь не могут и тоже совершенно однозначно свидетельствуют о махинациях после завершения голосования.

Этот график занятен и в другом отношении. Все партии, кроме "Единой России", бОльшую часть голосов получили на участках, где их процентный результат был близок к некоторому среднему значению (несколько большему, чем объявленные ЦИКом результаты). Складывается впечатление, что у всех партий избиратели – люди как люди, и только в "Единой России" - не то бандерлоги, не то марсиане.

И еще одна картинка, демонстрирующая накопление голосов (в процентах) в зависимости от показанного партией результата. Все графики довольно сходно по касательной выходят на 100%. График "Единой России" втыкается в потолок под углом примерно 45 градусов.

Для сравнения – вот как выглядят такие же графики для "идеальной модели:

Разные энтузиасты пытаются объяснить необычайное распределение официальных результатов естественными причинами: неоднородностью населения, спецификой голосования в сельской местности, "особенностями электоральной культуры" и пр.

Все эти доводы не выдерживают критики и сопоставления с реальностью.

"Противоположность между городом и деревней"

"Бороду" в правой части графика "Единой России" чаще всего связывают с особенностями сельского электората – якобы он склонен к повышенной явке и голосованию за власть (Чуров в 2008 г. даже написал в соавторстве на эту тему статью ⁶, совершенно, впрочем, не относящуюся к существу проблемы).

Конечно, в деревне и выборы могут казаться увеселением, а источники информации сводятся в основном к двум каналам телевидения. Но вот графики по Астраханской области и Алтайскому краю.

Сельского населения в Алтайском крае – 45%, в Астраханской области – 33%.

Почему-то на Алтае вовсе не ощущается противоречий между городом и деревней...

Может быть, все-таки дело не в крестьянах, а в начальниках? ⁷

Особенности региональных "электоральных культур"

Следующий довод, высказываемый без изучения данных, заключается в том, что борода возникает из-за различия регионов: дескать, в результате получается несколько разных нормальных распределений, которые в сумме и дают пресловутую бороду (остается неясным, почему это явление затрагивает только "Единую Россию").

Конечно, различия между регионами существуют.

Он существуют на разных уровнях – в том числе и между такими искусственными образованиями, как федеральные округа.

В Дальневосточном округе на графиках еще сохраняется известное сходство с реальной картиной голосования ("признаки нормального распределения"):

Поволжье дает хаотическую картину и обеспечивает большую часть пиков Чурова на общероссийском графике (и значительную часть "бороды"):

И совсем вне конкуренции Северокавказский округ, который не похож ни на один другой:

Первый из графиков СКФО почти невозможно рассмотреть, поскольку 177 195 голосов отданы за Единую Россию на участках, где она набрала 99,5% (995‰), и этот пик "убивает" все остальное. Обсуждать правдоподобность этой картинки нет резона: Единой России здесь явно не хватило пространства – что-то отдаленно похожее на нормальное распределение могло бы получиться, если горизонтальную ось продлить хотя бы до 130%. Складывается впечатление, что избиркомы на Северном Кавказе были вполне готовы нарисовать результат и выше 100%, но такой команды не поступило. Тем не менее фальсификация достигла невиданных высот. Обнаружить следы реального голосования в официальных итоговых цифрах невозможно, в отличие от признаков фальсификации, которых масса.

Например, если посмотреть, как распределились голоса там, где ЕР набирала меньше 98%, то выяснится интересная деталь: резкий "всплеск" на графике КПРФ в районе 74%.

Нет, это не какой-то специальный коммунистический заповедник, это ошибка писцов-фальсификаторов во Владикавказе. На нескольких участках они перепутали заранее заготовленные показатели ЕР и КПРФ ⁸. Сходная, но еще более анекдотическая ситуация получилась на 196 участке в Санкт-Петербурге, где перепутали голоса "Единой России" и "Правого дела" (абсолютный рекорд для "Правого дела" - 722 голоса или 61,7%).

Кавказские вершины российских выборов

Вернемся еще раз к "пикам Чурова".

Занятно, что пики эти возникают отнюдь не во всех регионах, и когда возникают – то тоже не все одновременно.

На графиках распределения результатов могут быть естественные пики. Например, в Ставропольском крае наблюдается пик при результате 51,6%. Хотя он заметен и в абсолютном, и в относительном измерении, но вполне можно допустить, что он имеет естественное (т.е. случайное) происхождение.

Случайные пики, как правило, "гасятся" (усредняются) при рассмотрении большей совокупности. На графике СКФО ставропольский пик почти не заметен.

И даже когда один не слишком большой пик попадает на круглое значение – это вполне может быть случайностью. Другое дело, когда этот пик "зашкаливает" или на круглые значения попадают несколько пиков (как в Приволжском федеральном округе или по России в целом).

Вот, например, Краснодарский край с мощным скачком на 65% (650‰) - этот результат был показан сразу на 33 участках (10 из них – в Сочи, где наблюдались и другие игры с круглыми цифрами), на которых за ЕР суммарно проголосовало 25 070 чел.

Этот же (немного подросший) пик прекрасно виден и на графике Южного федерального округа в целом:

Из других наблюдаемых на графике ЮФО пиков - краснодарский пик на 700‰ сильно подрос и почти догнал соседа на 704‰, вдвое вырос (но не слишком велик) пик на 600‰, а пик на 850‰ появился благодаря другим регионам (главным образом, Ростовской области).

Кабардино-Балкария демонстрирует пики при результатах ЕР 75% и 85%, и при 25% у КПРФ. В маленькой Карачаево-Черкесской Республике главный пик оказался "размазан" от 90% до 90,4% - здесь "Единая Россия" набрала 53 292 голоса, т.е. 20% своего общего результата.

О специфических особенностях "голосования" (т.е. объявленных результатов) в республиках Северного Кавказа можно было бы говорить много, но основное – на примере Ингушетии и Дагестана – уже написал Дмитрий Орешкин ⁹. То же самое – и про поразительную синхронность явки, и необычайное единодушие, выражающееся в совпадении результатов на большинстве участков – можно сказать и про остальные республики.

Вот, например, как дружно (если верить официальным данным) приходили голосовать избиратели в Чечне, одинаково слаженно в городе Грозном и в горных районах:

Исключение составляет Ножай-Юртовская комиссия, которая к 12 часам резко вырвалась вперед, но потом за 3 часа прибавилось только 0,2% - т.е. на 31 участке за 3 часа пришли 50 человек из общего числа 25 000 избирателей.

В общем, говоря математическим языком, результаты выборов на Северном Кавказе неожиданно оказываются ближе не к гауссову нормальному распределению, а к дельта-функции Дирака. Это такая функция, которая равна 0 всюду, кроме одной точки, в которой она принимает бесконечное значение. Случай Чечни эта функция описывает почти идеально. Вот этот незабываемый график (кавказский пик Чурова-Кадырова):

Конечно, наблюдатели сообщали, что явка на Северном Кавказе вовсе не была такой тотальной, и голосование не было столь единодушным – но что могут живые люди против липовых бумажек избирательных комиссий? Избирательные комиссии убеждены, что они лучше избирателя знают, за кого он голосовал.

Перечень странностей выборов далеко не исчерпан. О многих "чудесах" было написано уже через 3 дня после выборов, как только были опубликованы результаты.

Официальные инстанции никакого официального объяснения обнаруженным странностям не дали, но оргвыводы начались сразу.

Незачет по волшебству

Уже 7 декабря ушел в отставку мэр Ульяновска Александр Пинков. Действительно, разве можно простить такой отвратительно единообразный график результатов выборов?

12 декабря подал в отставку губернатор Вологодской области Вячеслав Позгалев – по сходной причине.

График Единой России непривычно похож на графики других партий. Конечно, справа немножко чего-то может и набросали, но до партминимума по фальсификациям губернатор не дотянул.

26 декабря губернатор Орловской области поставил вопрос об отставке мэра Орла Виктора Сафьянова.

И поделом: вместо "чуровской бороды" - всего два жалких волоска, просто унизительно для Единой России. В области управились гораздо лучше – график напоминает прическу, которую в мои школьные годы называли "взрыв на макаронной фабрике".

А вот у архангельского губернатора И.Михальчука вместо "чуровской бороды" получилась лишь редкая щетина – и 13 января он тоже лишился поста.

И, наконец, 17 января отправлен в отставку губернатор Волгоградской области А.Бровко. Несмотря на отчаянные усилия и неоднократный пересчет голосов, результат Единой России оказался довольно слабым – 35,48%. Судя по графику, масштабных вбросов не получилось.

За этими отставками просматривается тенденция.

Похоже, в Единой России началась чистка. В результате публицистическое определение "Единой России", введенное в широкое употребление А.Навальным, может скоро приобрести вполне научный характер.

Во всяком случае, партия активно избавляется от тех, кто не соответствует этому определению – и впору волноваться о судьбе других руководителей, не фальсифицировавших выборы.

Свердловского губернатора спасет, вероятно, больничный, но что будет с алтайским или ярославским руководством?

И последнее. Бесплатный совет нашим властям по вопросу, который их больше всего, кажется, заботит - Как избежать оранжевой революции?

Ответ чрезвычайно прост – не фальсифицируйте результаты выборов.

Это совет на будущее.

А сегодня, поскольку уже фальсифицировали и оказались пойманы за руку – не откладывайте надолго досрочные выборы. Иначе их будут проводить уже без вашего участия.

P.S. Когда статья уже была написана, в СМИ появились сведения о предполагаемых отставках губернаторов Томской и Мурманской областей. Надо ли объяснять, что в этих регионах "борода Чурова" тоже не проявилась? И не надо ли эту бороду включить в число показателей выживаемости губернаторов?

P.P.S. Отставка мэра Орла состоялась.

P.P.P.S. Президент Медведев на встрече со студентами журфака МГУ заявил, что прошедшие выборы в Госдуму – "самые чистые выборы за всю нашу историю". В свете изложенного такое высказывание впору считать очернительством.

26 января 2012 года

1. См.: Сергей Шпилькин. Статистика исследовала выборы - Газета.Ру, 10.12.2011 г., Борис Штерн. Гаусс вместо булыжника - Троицкий вариант, № 94, 20.12.2011 г., Леонид Каганов. На территории РФ прямой угол равен 100, потому что самый прямой и честный в мире - Личный сайт Л. Каганова, 7.12.2011 г., Дмитрий Коган. Волшебная сила науки - Блог Дмитрия Когана на сайте LiveJournal.Com, 7.12.2011 г., Дмитрий Кобак. ПЖиВ - Блог Дмитрия Кобака на сайте LiveJournal.Com, 6.12.2011 г., Maxim Pshenichnikov. Кто вы, герои войны и труда? или 75х75 - Блог Maxim Pshenichnikov на сайте LiveJournal.Com, 7.12.2011 г.
2. С.Г. Кузнецов. Математические распределения и выборы в ГосДуму 2011 - Eruditor.Ru
3. Интервью с В. Чуровым - "Эхо Москвы", 5.01.2012
4. См. статью "Нормальное распределение" на сайте "Википедия.Орг"
5. "Яблоко" в суде представило "детектив" о пропаже голосов. Расследовать не стали, в иске отказали - Newsru.com, 26.12.2011 г.
6. В. Е. Чуров, В. Л. Арлазаров, А. В. Соловьев. Итоги выборов. Анализ электоральных предпочтений - "Труды Института Системного Анализа РАН", №2008-38, 2008 г.
7. См. подробности о выборах в Астраханской области.
8. Подробнее можно прочесть в материале Александра Киреева "Еще два "Стерлитамака", Блог Александра Киреева на сайте LiveJournal.Com, 3.01.2012 г.l
9. Будет врать-то! - Блог Дм. Орешкина на сайте "Эхо Москвы", 30.12.2011